Савельев родился 3 августа 1968 г., у него 2 высших образования. В 1997 г. закончил Академию народного хозяйства при правительстве РФ (по специальности «менеджмент»), в 2000 г. – Нижегородский государственный университет им. Н.И.Лобачевского (юридический факультет). Награждён медалью «За отвагу» и медалью ордена «За заслуги перед Отечеством» II степени, орденом Александра Невского и орденом Почёта. Также он кандидат юридических наук. У него пятеро детей.
Сенатором Савельев стал с 2016 года. До этого был депутатом Госдумы, а в 90-х работал в структурах «Лукойла» и был президентом «Транснефти».
СМИ сообщают, что в 2018 году парламентарий прославился тем, что отметил свой юбилей за 60 миллионов рублей. Тогда его поздравляли Николай Басков, Валерий Меладзе, Вера Брежнева, Игорь Крутой и Дмитрий Маликов.
